vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong nội dung bài viết này, chúng tôi sẽ chia sẻ tới Quý độc giả các thông tin hữu ích về Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian. Mời Quý vị tham khảo:

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

Trong không gian, với hai đường thẳng, có thể xảy ra các trường hợp sau đây:

Bạn đang xem: vị trí tương đối của hai đường thẳng

Thứ nhất: Hai đường thẳng đồng phẳng

Hai đường thẳng đồng phẳng hay ở trên cùng một mặt phẳng có thể xảy ra 3 vị trí tương đối là:

1/ Cắt nhau: Có duy nhất 1 điểm chung

2/ Song song: không có điểm chung

3/ Trùng nhau: Có nhiều hơn hai điểm chung

Thứ hai: Hai đường thẳng không đồng phẳng

Đây là trường hợp mà hai đường thẳng không có điểm chung, còn gọi là hai đường thẳng chéo nhau.

Như vậy, để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian, ta có thể xét theo hai tiêu chí, đó là số điểm chung và sự đồng phẳng.

Tuy nhiên, trong Oxyz thì xét theo hai tiêu chí như vậy sẽ không hiệu quả và gặp nhiều khó khăn, tính toán dài dòng. Để thực hiện xét nhanh vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian Oxyz, ta sử dụng tính chất có hướng và xét theo sơ đồ.

Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

Thứ nhất: Phương pháp giải

Vị trí tương đối giữa đường thẳng d (đi qua M0 và có vectơ chỉ phương u→) và đường thẳng d’ (đi qua M’0 và có vectơ chỉ phương u’→)

– d và d’ cùng nằm trong một mặt phẳng ⇔ Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12

– d ≡ d’⇔ Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12

– d // d’ ⇔ Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12

– d và d’ cắt nhau: ⇔ Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12

– d và d’ chéo nhau ⇔ Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12

– Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12

Thứ hai: Ví dụ

Ví dụ 1:

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12

A. Cắt nhau

B. Trùng nhau

C. Chéo nhau

D. Song song

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có vecto chỉ phương Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12 và đi qua M0 (0;1;2)

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12

Nên hai đường thẳng d và d’ song song.

=> Chọn D.

Ví dụ 2:

Tìm a để hai đường thẳng sau đây song song:

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12

A. a= 2

B. a= -3

C. a= -2

D. a= 4

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d và d’ có vecto chỉ phương lần lượt là Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12

Để d // d’ thì Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12

Khi đó đường thẳng d’ đi qua điểm N (1; 2; 2) và điểm N không thuộc d.

Vậy d // d’ khi và chỉ khi a = 2

=> Chọn A.

Ví dụ 3:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12 . Khi đó, giá trị của m bằng bao nhiêu thì d1 cắt d2?

A. m= 0

B. m= 1

C. m= -2

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Xem thêm: cho hình chóp s abcd có đáy là hình vuông cạnh a

+ Đường thẳng d1: đi qua A(1; 0; 1) và nhận vecto Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12 làm vecto chỉ phương

+ Đường thẳng d2: đi qua B(0; -2; -m) và nhận vecto Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12 làm vecto chỉ phương

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12

+ để hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau thì:

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12 ⇔ – 3.( -1) – 1( – 2) + 5( – m- 1) =0 ⇔ 3+ 2- 5m- 5= 0 ⇔ 5m= 0 ⇔ m= 0

=> Chọn A.

Ví dụ 4:

Cho hai đường thẳng Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12 . Tìm m để hai đường thẳng đã cho chéo nhau?

A. m ≠ -1

B. m ≠ -10

C. m ≠ 10

D. m ≠ 12

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d1 đi qua A( 2; 0;-1) và có vecto chỉ phương Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12 .

+ Đường thẳng d2 đi qua B( 0; m; – 1) và có vecto chỉ phương Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12

+ Để hai đường thẳng đã cho chéo nhau khi và chỉ khi: Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12 ⇔ 10+ m ≠ 0 hay m ≠ -10

=> Chọn B.

Bài tập về xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

Bài tập 1:

Trong hệ tọa độ không gian Oxyz, cho đường thẳng Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12 . Chọn khẳng định đúng?

A. d1; d2 chéo nhau.

B. d1; d2cắt nhau.

C. d1; d2 vuông góc với nhau.

D. d1; d2 chéo nhau và vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d1 đi qua A( 0; -1; 0); có vecto chỉ phương Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12

+ Đường thẳng d2 đi qua B(0; 1; 1); có vecto chỉ phương Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12

Ta có Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12

=> Hai vecto Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12 vuông góc với nhau. suy ra đường thẳng d1 vuông góc với d2.

+ Mặt khác Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12

Suy ra d1 và d2 chéo nhau.

=> Chọn D.

Bài tập 2:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. song song.

B. trùng nhau.

C. chéo nhau.

D. cắt nhau.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có VTCP Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12 và đi qua M(1;2; 0)

Đường thẳng d’ có VTCP Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12 và đi qua M’(0;-5; 4)

Từ đó ta có:

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12

Xem thêm: ôn tập phần tập làm văn lớp 7

Lại có Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12

Suy ra d chéo nhau với d’.

=> Chọn C.